어떤 나라에는 N개의 도시가 있고, 각 도시는 1번부터 N번까지 번호가 붙어 있다. 또, 서로 다른 두 도시를 양방향으로 직접 연결하는 M개의 도로가 있다. 도로들은 서로 길이가 다를 수 있다. 도로 길이의 단위는 km를 사용한다.
1번 도시에서 N번 도시로 자동차를 이용하여 이동하려고 한다. 처음 출발할 때 자동차에는 기름이 없어서 주유소에서 기름을 넣고 출발하여야 한다. 기름통의 크기는 무제한이어서 얼마든지 많은 기름을 넣을 수 있다. 도로를 이용하여 이동할 때 1km마다 1리터의 기름을 사용한다. 각 도시에는 단 하나의 주유소가 있으며, 도시마다 주유소의 리터당 가격은 다를 수 있다. 가격의 단위는 원을 사용한다.
예를 들어, 이 나라에 다음 그림처럼 4개의 도시와 4개의 도로가 있다고 하자. 원 안에 있는 숫자는 도시의 번호, 원 옆에 있는 숫자는 그 도시에 있는 주유소의 리터당 가격이다. 도로 옆에 있는 숫자는 도로의 길이를 표시한 것이다.
1번 도시에서 출발할 때 7리터의 기름을 넣고 그 기름으로 4번 도시까지 (3번 도시를 거쳐) 이동하면 총 비용은 35원이다. 만약 1번 도시에서 출발할 때 3리터의 기름을 넣고(3×5 = 15원) 3번 도시로 이동한 다음, 다시 3번 도시에서 4리터의 기름을 넣고(4×4 = 16원) 4번 도시에 도착하면 총 비용은 31원이다. 또 다른 방법으로 1번 도시에서 2리터의 기름을 넣고(2×5 = 10원) 2번 도시로 이동하여, 2번 도시에서 9리터의 기름을 넣고(9×2 = 18원) 1번과 3번 도시를 거쳐 4번 도시에 도착하면 총 비용은 28원이다.
각 도시에 있는 주유소의 기름 가격과, 각 도로들의 길이를 입력으로 받아 1번 도시에서 N번 도시로 이동하는 최소의 비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
표준 입력으로 다음 정보가 주어진다. 첫 번째 줄에는 도시의 수와 도로의 수를 나타내는 정수 N(2 ≤ N ≤ 2,500)과 정수 M(1 ≤ M ≤ 4,000)이 주어진다. 다음 줄에 각 도시 주유소의 리터당 가격이 도시 번호 순서대로 N개의 자연수로 주어진다. 리터당 가격은 1 이상 2,500 이하의 자연수이다. 그 다음 M개의 줄 각각에 하나의 도로에 대한 정보가 세 개의 자연수로 주어지는데, 처음 두 개의 자연수는 도로가 연결하는 두 도시의 번호이며, 세 번째 자연수는 도로의 길이이다. 도로의 길이는 1 이상 2,500 이하의 자연수이다. 한 쌍의 도시를 연결하는 도로는 최대 하나만 존재한다. 임의의 도시에서 다른 임의의 도시로 도로들을 이용하여 이동할 수 있는 방법이 항상 존재한다.
출력
표준 출력으로 1번 도시에서 N번 도시로 가는 최소 비용을 출력한다.
입력 예시
4 4
5 2 4 1
3 1 3
1 2 2
4 3 4
2 4 15
출력 예시
28
풀이
다익스트라로 접근해 보자. 우리가 방문한 지역 중 최소 리터당 가격인 주유소의 기름만을 이용하는 것이 그리디하게 가장 좋은 경우기 때문에, 우리는 노드 뿐만 아니라 현재의 최소 리터당 가격을 염두해 두고 탐색을 수행하면 된다. 즉 힙 자료구조와 2차원 최소 경로값을 업데이트하며, 우리가 목표로 하는 N번째 노드에 도달하는 순간 탐색을 종료하는 형식으로 최대한 빠르게 문제를 처리해 볼 수 있겠다.
풀이 코드
from collections import defaultdict
from heapq import *
import sys
input = sys.stdin.readline
MAX = float('inf')
MAXCOST = 2501
N, M = map(int, input().split())
fuel_cost = list(map(int, input().split()))
edge_dict = defaultdict(list)
for _ in range(M) :
a, b, c = map(int, input().split())
edge_dict[a-1].append((b-1, c))
edge_dict[b-1].append((a-1, c))
visited = [[MAX]*MAXCOST for _ in range(N)]
visited[0][-1] = 0
q = [(0, MAXCOST, 0)]
while q :
tot_cost, min_cost, node = heappop(q)
if node == N-1 :
print(tot_cost)
break
min_cost = min(min_cost, fuel_cost[node])
for nxt, nxt_dist in edge_dict[node] :
if visited[nxt][min_cost] > tot_cost + min_cost*nxt_dist :
visited[nxt][min_cost] = tot_cost + min_cost*nxt_dist
heappush(q, (tot_cost + min_cost*nxt_dist, min_cost, nxt))
